1. Осевое сечение цилиндра – это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник .

2. Сечение цилиндра плоскостью параллельной основанию .
В этом случае сечением является круг, равный и параллельный основанию.

Конус

Конус – это геометрическое тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, − вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

На рис. а ) прямой конус, б ) наклонный конус.

Вдальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус!

S – вершина конуса.

Круг с центрами О – основание конуса.

SA , CB , SС – образующие конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту (SО ).

Свойства конуса:

Образующие конуса равны.

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Простейшие сечения конуса.

1. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением конуса является треугольник .

2. Сечение конуса плоскостью параллельной основанию .
В этом случае сечением является круг, подобный и параллельный основанию.

Шар – это геометрическое тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка (О ) называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой .

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности называется радиусом шара (OD , ОВ , ОА ).

Диаметр шара – это отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара (АВ ).

Свойства шара:

Радиусы шара равны;

Диаметры шара равны.

Шар можно рассматривать как тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра.

Простейшие сечения шара

1. Сечение шара плоскостью проходящей через его центр. В этом случае сечением является большой круг .

2. Сечение шара плоскостью не проходящей через его центр. В этом случае сечением является круг .

Цилиндрическая поверхность m Некоторая прямая m двигаясь вдоль кривой описывает цилиндрическую поверхность. Если данная кривая - замкнута, то описывается замкнутая цилиндрическая поверхность. Если замкнутая кривая имеет форму круга, то описывается круговой цилиндр. Если прямая m перпендикулярна к плоскости кривой, то описывается прямой круговой цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Эллиптический цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Гиперболический цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Параболлический цилиндр 26.07.2014 6 Определение цилиндра. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Цилиндр Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг прямой, содержащей любую его сторону Элементы цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Свойства цилиндра. 1) Основания равны и параллельны. 2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу Развёртка цилиндра Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого является высотой цилиндра, а другая длиной окружности основания Равносторонним цилиндром называется цилиндр осевым сечением которого является квадрат Сечения цилиндра. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси ─ прямоугольник. Две его стороны ─ образующие цилиндра, а две другие ─ параллельные хорды оснований. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра называется осевым сечением и, так же является прямоугольником. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Касательная плоскость Если плоскость имеет с боковой поверхностью общую прямую, то эта плоскость называется касательной. Линией касания является образующая цилиндра Полная и боковая поверхности цилиндра Боковая поверхность цилиндра прямоугольник, одна сторона которого высота цилиндра, а другая длина окружности. Полная поверхность цилиндра состоит из двух кругов и боковой поверхности. L H 2 RH S боковой поверхност цилиндра и S круга R 2 R 2 RH 2 R (R H) 2 S круга S боковой S полной поверхност цилиндра 2 и поверхност цилиндра 2 и Объём цилиндра Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту цилиндра. V S основания V R 2 H H Объясните, что такое прямой круговой цилиндр? Что такое радиус, высота, образующая и ось цилиндра? Что такое осевое сечение цилиндра? Какой цилиндр называется равносторонним? Что является сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра? Что понимаем под боковой и полной поверхностью цилиндра? Как найти боковую и полную поверхность цилиндра? ЭЛЕМЕНТЫ ЦИЛИНДРА Задача 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра. Дано: цилиндр, осевое сечение – квадрат Sсеч=Q Найти:Sосн =Sкруга Решение: Задача 2. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в квадрат площадью 4 см2. Найти полную поверхность и объем цилиндра. Принять 3 Н lкруга Дано: цилиндр Sкв.=4см2 Найти: Sп.п., Vцил. Решение: Лабораторно-практическая работа Тема: Цилиндр 1. Определение, свойства. 2. Рисунок, размеры в мм. 3. Вычислить: а) площадь основания б) боковую поверхность цилиндра. в) полную поверхность цилиндра. г) объём цилиндра. Задачи Диагональ осевого сечения равна 48см. Угол между диагональю и образующей цилиндра равна 60o. Найти 1) высоту цилиндра; 2) радиус цилиндра; 3) Sосн Высота цилиндра равна 8см, радиус равен 5см. Найдите площадь сечения плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3см Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной α вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: 1)осевого сечения цилиндра; 2) полной поверхности цилиндра Циліндр Оригінальність в дизайні та архітектурі Задача: На сколько увеличиться объем камеры сгорания двигателя автомобиля ГАЗ-53, если диаметр поршня 10 см, а ход поршня 9 см? Решение V=пR2H: V=3,14 52 9=706,5 (cm3) Задача Определить емкость масляного бака насоса гидроусилителя автомобиля ЗИЛ130, если диаметр его 126 мм,а высота 140 мм Решение V=пR2H=3,14. 3969 .140=174477,24

Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов (оснований цилиндра), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.

Вот другое определение:

Цилиндр - тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.

Цилиндрическая поверхность - поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию - направляющей цилиндрической поверхности.

Боковая поверхность цилиндра - часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.

Основания цилиндра - части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.

Рис.1 мини

Цилиндр называется прямым (См.Рис.1 ), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным .

Круговой цилиндр - цилиндр, основания которого являются кругами.

Прямой круговой цилиндр (просто цилиндр) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1 .

Радиус цилиндра – радиус его основания.

Образующая цилиндра - образующая цилиндрической поверхности.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением .

Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра . См.Рис.2 .

Развёртка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра - площадь развёртки боковой поверхности. $$S_{бок}=2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Площадь полной поверхности цилиндра - площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_{полн}=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра : $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r - радиус основания).

Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая - многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.

Стереометрия − это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями указанной фигуры. Например, многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание, а величественные колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндров, подчеркивают их гармонию и красоту.

Греч. − кюлиндрос. Античный термин. В обиходе − свиток папируса, валик, каток (глагол − крутить, катать).

У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери − движением образующей (при произвольной направляющей − "цилиндрика").

Цель данного реферата рассмотреть геометрическое тело – цилиндр.

Для достижения данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:

− дать определения цилиндра;

− рассмотреть элементы цилиндра;

− изучить свойства цилиндра;

− рассмотреть виды сечения цилиндра;

− вывести формулу площади цилиндра;

− вывести формулу объема цилиндра;

− решить задачи с использованием цилиндра.

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плокости α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s 1 , s 2 , s 3 ,... − ее образующими.

Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними − ее гранями.

Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая − нормальной направляющей.

Если направляющая − замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями α и α", и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом − призмой.

Цилиндрическое тело − цилиндр определяется аналогично призме:
Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.

Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой цилиндр

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

1. 3. Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 3, а). Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

а)б)

в) г)

Рис. 3 – Сечения цилиндра

В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это − сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 3, б).

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг (рис 3, в).

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси − овал (рис. 3г).

Теорема 1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Доказательство. Пусть β − плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость β с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью β с окружностью основания. Теорема доказана.

Площадь боковой поверхности цилиндра.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон основания этой призмы неограниченно возрастет.

Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S бок.ц = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

А) б)
Рис. 4 − Площадь боковой поверхности цилиндра

Доказательство.

Пусть P n и Н соответственно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда площадь боковой поверхности этой призмы S бок.ц − P n H. Предположим, что число сторон многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда периметр P n стремится к длине окружности С = 2πR, где R- радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2πRH, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна S бок.ц = 2πRH. Теорема доказана.

Площадь полной поверхности цилиндра.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна πR 2 , следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S полн вычисляется по формуле S бок.ц = 2πRH+ 2πR 2 .

r

T 1

T

F

F 1

F

T

а)

F

б)

Рис. 5 − Площадь полной поверхности цилиндра

Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей FT (рис. 5, а) и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник FTT1F1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, FF1=2πR, а его сторона FT равна образующей цилиндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь FT∙FF1=2πRH развертки цилиндра равна пло­щади его боковой поверхности.

1.5. Объем цилиндра

Если геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.

Данное тело имеет объем V, если существует содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколько угодно мало отличающимися от V.

Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.

При выводе формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один − содержащий круг, другой − содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р − многоугольник, содержащий круг, а Р" − многоугольник, содержащийся в круге (рис. 6).

Рис. 7 − Цилиндр с описанной и вписанной в него призмой

Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р" и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении n площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН. Согласно определению объем цилиндра

V = SH = πR 2 H.

Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Задача 1.

Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.

Найдите площадь основания цилиндра.

Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, S квадрата = Q.

Найти: S осн.цил.

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна .

Ответ: S осн.цил. =

Задача 2.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.

Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.

Решение: Боковые грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.

Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани − квадраты.

Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.

Задача 3.

Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.

Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Найти: S сеч.

S сеч. = КМ×КС,

ОЕ = 4 см, КС = 6 см.

Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),

треугольник ОЕК − прямоугольный.

Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S сеч. = 6×6 = 36 см 2 .

Цель данного реферата выполнена, рассмотрено такое геометрическое тело, как цилиндр.

Рассмотрены следующие задачи:

− дано определение цилиндра;

− рассмотрены элементы цилиндра;

− изучены свойства цилиндра;

− рассмотрены виды сечения цилиндра;

− выведена формула площади цилиндра;

− выведена формула объема цилиндра;

− решены задачи с использованием цилиндра.

1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995.

2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы, 1999.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 1998.

5. Киселев А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник, 2000.